De Hausdorff a Banach-Tarski

Daremos una explicación de como es que, si la esfera (hueca) S^2 se puede duplicar, la bola unitaria, también se puede duplicar. Es decir, la bola \mathbb{B}^3 definida como

\mathbb{B}^3=\{(x,y,z): x^2+y^2+z^2 \leq 1\}

Es paradójica respecto a alguna acción de SO(3,\mathbb{R}) sobre \mathbb{R}^3. Esta afirmación es la paradoja de Banach-Tarski

Paradoja de Banach-Tarski \mathbb{B}^3-\{(0,0,0)\} es un conjunto paradójico respecto a una acción \tau de SO(3,\mathbb{R}) sobre \mathbb{R}^3 y por lo tanto respecto a la acción \tau de \mathcal{M}_3 sobre \mathbb{R}^3. Además, la bola \mathbb{B}^3 es equivalente a \mathbb{B}^3-\{(0,0,0)\} y por lo tanto, \mathbb{B}^3 es un conjunto paradójico.

Notamos como \mathcal{M}_3 al grupo de movimientos rígidos (o giros positivos) de \mathbb{R}^3. Podemos ver que SO(3,\mathbb{R})\subsetneq \mathcal{M}_3, pues un giro alrededor de una recta que no pase por el origen, también es un elemento de \mathcal{M}_3.

La demostración se basa en que, al saber que la esfera S^2 es paradójica respecto a SO(3,\mathbb{R}), podemos hacer una partición finita de S^2

S^2=A'\cup A''\cup A'''

Donde A'\sim S^2 y A''\sim S^2. Ahora consideremos E\subseteq S^2 un subconjunto cualquiera de S^2, definimos el cono (sin vértice) de E como:

C(E)=\{\lambda(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:(x,y,z)\in E \land 0<\lambda\leq 1\}

Viendo gráficamente C(E) podemos ver que para e\in E, C(e) es un “pedazo” de la recta que pasa por el origen y el punto e, y al unirse estas rectas, tienen la forma de un cono sin el vértice, pues al ser \lambda> 0 tenemos que (0,0,0)\notin C(E).

Ilustración hecha por Brayan Romero

Si tomamos dos subconjuntos disyuntos E, E' de S^2, tenemos que, como no tienen ningún punto en común, las rectas asociada a dos puntos de E o E' es disyunta, y por ende sus respectivos conos C(E) y C(E') también son disyuntos. También se tiene que para una rotación \rho\in SO(3,\mathbb{R}), se cumple que \rho(C(E))=C(\rho(E)).

Entonces, al considerar los conos C(A'),C(A''),C(A'''), tenemos que es una partición finita de C(S^2)=\mathbb{B}^3-\{0,0,0\}.

Como A'\sim S^2, haciendo las respectivas particiones y rotaciones de A', tenemos que C(A')\sim C(S^2),de igual forma, C(A'')\sim C(S^2) y C(S^2)=C(A')\cup C(A'')\cup C(A'''). Por lo que tenemos que C(S^2)=\mathbb{B}^3-\{(0,0,0)\} es un conjunto paradójico sobre alguna acción \tau\in SO(3,\mathbb{R})\subsetneq \mathcal{M}_3.

Para demostrar que \mathbb{B}^3 es equivalente a \mathbb{B}^3-\{(0,0,0)\}. Nos centramos en un giro \phi con eje en la recta que pasa por el punto (\frac{1}{2},0,0) y que es perpendicular al plano z=0, y el ángulo de este giro es \psi, de tal forma que \frac{2\pi}{\psi} sea un número irracional. De esta forma, tenemos que para m,n \in \mathbb{Z},con m,n\ne 0 nunca se cumple que m\psi=2\pi n, lo que significa que ningún punto fuera del eje de rotación puede volver a su posición inicial.

Ahora consideremos el conjunto G definido como

G=\bigcup_{n\geq 0}\phi^n((0,0,0))

Es decir, la unión de todos los puntos que se pueden obtener al realizar varias veces el giro \phi sobre el origen. Si a\in G, tenemos que a\in\phi^n((0,0,0)) para algún n\geq 0 y al aplicar el giro \phi sobre G se tiene que \phi(a)\in\phi^{n+1}((0,0,0)) para n\geq 0, es decir \phi(a)\in\phi^{n}((0,0,0)) para n\geq 1. Por lo que tenemos que

\phi(G)=\bigcup_{n\geq 1}\phi^{n}((0,0,0))=G-\{(0,0,0)\}

Esta última igualdad es debido a que al realizar el giro sobre G, particularmente, lo estamos realizando sobre el punto (0,0,0), y como este punto no pertenece al eje de rotación, (0,0,0) no puede volver a su lugar original, los demás puntos de G no se afectan, pues al ser obtenidos de efectuar el giro \phi sobre (0,0,0) al menos una vez, tenemos que estos también están en \phi(G).

Finalmente, al igual que en la paradoja de Hausdorff, podemos hacer una partición finita de \mathbb{B}^3, esta es

\mathbb{B}^3=(\mathbb{B}^3-G)\cup G

Aplicando el giro identidad a (\mathbb{B}^3-G) y el giro \phi a G, tenemos la siguiente igualdad podemos hacer una partición de \mathbb{B}^3-\{(0,0,0)\}

(\mathbb{B}^3-G)\cup \phi(G)=(\mathbb{B}^3-G)\cup (G-\{0,0,0\})

=\mathbb{B}^3-\{0,0,0\}

Por lo tanto, tenemos que \mathbb{B}^3 y \mathbb{B}^3-\{0,0,0\} son congruentes por partes (o 2-equivalentes). Y como \mathbb{B}^3-\{0,0,0\}, es un conjunto paradójico, podemos formar particiones de este conjunto y unirlas de tal forma que obtenemos 2 veces el conjunto \mathbb{B}^3-\{0,0,0\}, y como este conjunto es equivalente con la bola \mathbb{B}^3, podemos hacer una partición en los 2 conjuntos obtenidos y así, tener

¡2 esferas de solo una!

The Banach-Tarski paradox: is it nonsense? | njwildberger ...
imagen tomada de: https://njwildberger.com/2015/12/03/the-banach-tarski-paradox-is-it-nonsense/

Es increíble como el axioma de elección da lugar a este tipo de resultados contra-intuitivos e “ilógicos”, pero ¿de verdad es ilógico? Si bien se ha dicho que no es físicamente posible, aún hay muchas cosas de nuestro universo que no sabemos o no entendemos, o quizás este teorema se aplique en otros lugares como la informática. En fin, hay muchas cosas que aún no entendemos de las matemáticas, quizás la respuesta a alguna duda yace en esta paradoja, solo que aún no hemos encontrado tal pregunta.

Sigue este proyecto

Te invitamos a leer las futuras entradas en orden para una mayor comprensión de la Paradoja de Banach- Tarski

Referencias

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