De Hausdorff a Banach-Tarski

Daremos una explicación de como es que, si la esfera (hueca) $S^2$ se puede duplicar, la bola unitaria, también se puede duplicar. Es decir, la bola $\mathbb{B}^3$ definida como

$\mathbb{B}^3=\{(x,y,z): x^2+y^2+z^2 \leq 1\}$

Es paradójica respecto a alguna acción de $SO(3,\mathbb{R})$ sobre $\mathbb{R}^3$ . Esta afirmación es la paradoja de Banach-Tarski

Paradoja de Banach-Tarski $\mathbb{B}^3-\{(0,0,0)\}$ es un conjunto paradójico respecto a una acción $\tau$ de $SO(3,\mathbb{R})$ sobre $\mathbb{R}^3$ y por lo tanto respecto a la acción $\tau$ de $\mathcal{M}_3$ sobre $\mathbb{R}^3$ . Además, la bola $\mathbb{B}^3$ es equivalente a $\mathbb{B}^3-\{(0,0,0)\}$ y por lo tanto, $\mathbb{B}^3$ es un conjunto paradójico.

Notamos como $\mathcal{M}_3$ al grupo de movimientos rígidos (o giros positivos) de $\mathbb{R}^3$ . Podemos ver que $SO(3,\mathbb{R})\subsetneq \mathcal{M}_3$ , pues un giro alrededor de una recta que no pase por el origen, también es un elemento de $\mathcal{M}_3$ .

La demostración se basa en que, al saber que la esfera $S^2$ es paradójica respecto a $SO(3,\mathbb{R})$ , podemos hacer una partición finita de $S^2$

$S^2=A'\cup A''\cup A'''$

Donde $A'\sim S^2$ y $A''\sim S^2$ . Ahora consideremos $E\subseteq S^2$ un subconjunto cualquiera de $S^2$ , definimos el cono (sin vértice) de $E$ como:

$C(E)=\{\lambda(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:(x,y,z)\in E \land 0<\lambda\leq 1\}$

Viendo gráficamente $C(E)$ podemos ver que para $e\in E, C(e)$ es un “pedazo” de la recta que pasa por el origen y el punto $e$ , y al unirse estas rectas, tienen la forma de un cono sin el vértice, pues al ser $\lambda> 0$ tenemos que $(0,0,0)\notin C(E)$ .

Si tomamos dos subconjuntos disyuntos $E, E'$ de $S^2$ , tenemos que, como no tienen ningún punto en común, las rectas asociada a dos puntos de $E$ o $E'$ es disyunta, y por ende sus respectivos conos $C(E)$ y $C(E')$ también son disyuntos. También se tiene que para una rotación $\rho\in SO(3,\mathbb{R})$ , se cumple que $\rho(C(E))=C(\rho(E))$ .

Entonces, al considerar los conos $C(A'),C(A''),C(A''')$ , tenemos que es una partición finita de $C(S^2)=\mathbb{B}^3-\{0,0,0\}$ .

Como $A'\sim S^2$ , haciendo las respectivas particiones y rotaciones de $A'$ , tenemos que $C(A')\sim C(S^2)$ ,de igual forma, $C(A'')\sim C(S^2)$ y $C(S^2)=C(A')\cup C(A'')\cup C(A''')$ . Por lo que tenemos que $C(S^2)=\mathbb{B}^3-\{(0,0,0)\}$ es un conjunto paradójico sobre alguna acción $\tau\in SO(3,\mathbb{R})\subsetneq \mathcal{M}_3$ .

Para demostrar que $\mathbb{B}^3$ es equivalente a $\mathbb{B}^3-\{(0,0,0)\}$ . Nos centramos en un giro $\phi$ con eje en la recta que pasa por el punto $(\frac{1}{2},0,0)$ y que es perpendicular al plano $z=0$ , y el ángulo de este giro es $\psi$ , de tal forma que $\frac{2\pi}{\psi}$ sea un número irracional. De esta forma, tenemos que para $m,n \in \mathbb{Z}$ ,con $m,n\ne 0$ nunca se cumple que $m\psi=2\pi n$ , lo que significa que ningún punto fuera del eje de rotación puede volver a su posición inicial.

Ahora consideremos el conjunto $G$ definido como

$G=\bigcup_{n\geq 0}\phi^n((0,0,0))$

Es decir, la unión de todos los puntos que se pueden obtener al realizar varias veces el giro $\phi$ sobre el origen. Si $a\in G$ , tenemos que $a\in\phi^n((0,0,0))$ para algún $n\geq 0$ y al aplicar el giro $\phi$ sobre $G$ se tiene que $\phi(a)\in\phi^{n+1}((0,0,0))$ para $n\geq 0$ , es decir $\phi(a)\in\phi^{n}((0,0,0))$ para $n\geq 1$ . Por lo que tenemos que

$\phi(G)=\bigcup_{n\geq 1}\phi^{n}((0,0,0))=G-\{(0,0,0)\}$

Esta última igualdad es debido a que al realizar el giro sobre $G$ , particularmente, lo estamos realizando sobre el punto $(0,0,0)$ , y como este punto no pertenece al eje de rotación, $(0,0,0)$ no puede volver a su lugar original, los demás puntos de $G$ no se afectan, pues al ser obtenidos de efectuar el giro $\phi$ sobre $(0,0,0)$ al menos una vez, tenemos que estos también están en $\phi(G)$ .

Finalmente, al igual que en la paradoja de Hausdorff, podemos hacer una partición finita de $\mathbb{B}^3$ , esta es

$\mathbb{B}^3=(\mathbb{B}^3-G)\cup G$

Aplicando el giro identidad a $(\mathbb{B}^3-G)$ y el giro $\phi$ a $G$ , tenemos la siguiente igualdad podemos hacer una partición de $\mathbb{B}^3-\{(0,0,0)\}$

$(\mathbb{B}^3-G)\cup \phi(G)=(\mathbb{B}^3-G)\cup (G-\{0,0,0\})$

$=\mathbb{B}^3-\{0,0,0\}$

Por lo tanto, tenemos que $\mathbb{B}^3$ y $\mathbb{B}^3-\{0,0,0\}$ son congruentes por partes (o $2-$ equivalentes). Y como $\mathbb{B}^3-\{0,0,0\}$ , es un conjunto paradójico, podemos formar particiones de este conjunto y unirlas de tal forma que obtenemos 2 veces el conjunto $\mathbb{B}^3-\{0,0,0\}$ , y como este conjunto es equivalente con la bola $\mathbb{B}^3$ , podemos hacer una partición en los 2 conjuntos obtenidos y así, tener

¡2 esferas de solo una!

The Banach-Tarski paradox: is it nonsense? | njwildberger ... — imagen tomada de: https://njwildberger.com/2015/12/03/the-banach-tarski-paradox-is-it-nonsense/

Es increíble como el axioma de elección da lugar a este tipo de resultados contra-intuitivos e “ilógicos”, pero ¿de verdad es ilógico? Si bien se ha dicho que no es físicamente posible, aún hay muchas cosas de nuestro universo que no sabemos o no entendemos, o quizás este teorema se aplique en otros lugares como la informática. En fin, hay muchas cosas que aún no entendemos de las matemáticas, quizás la respuesta a alguna duda yace en esta paradoja, solo que aún no hemos encontrado tal pregunta.

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Te invitamos a leer las futuras entradas en orden para una mayor comprensión de la Paradoja de Banach- Tarski

Conclusiones

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Primera demostración

Referencias

La Paradoja de Banach-Tarski. Cadavid, Carlos. Vélez, Juan D. Facultad de Ciencias. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín, Medellín, Colombia.2017. Tomado de https://doi.org/10.15446/rev.fac.cienc.v6n2.65409